Matematyka w wedach

Matematyka wedyjska to system szybkiego liczenia w pamięci, stworzony przez Hindusów i opisany w Wedach. Został ponownie odkryty w XX wieku przez historyka i badacza sanskrytu, Bharatiego Krisznę.

Możliwości matematyki wedyjskiej są jeszcze potężniejsze niż systemu Trachtenberga. Pozwala ona na konwertowanie ułamków typu 14/89 na ułamki dziesiętne, podnoszenie dużych liczb do kwadratu, mnożenie liczb przez 9,99,999 itp. i wiele innych działań.

Matematyka wedyjska oparta jest na 16 sutrach:

Przez jeden więcej niż poprzednia.
Wszystkie od 9, ostatnia od 10.
Pionowo i na krzyż.
Przenieś i zastosuj.
Jeśli samuccaya jest równa, to jest zerem.
Gdy jedno jest stosunkiem, inne jest zerem.
Przez dodawanie i odejmowanie.
Przez dopełnienie lub jego brak.
Rachunek różniczkowy.
Przez niedostatek.
Specyficzny i ogólny.
Reszta z ostatniej cyfry.
Ostatni i podwojony przedostatni.
Przez jeden mniej niż przez poprzedni.
Produkt sumy.
Wszystkie mnożniki.

Nie do każdej sutry udało mi się odnaleźć odpowiadające jej metody. Gdyby ktoś z Was dysponował odpowiednimi materiałami, bardzo proszę o kontakt.

I Przez jeden więcej niż poprzednia

Nazwa angielska: By one more than the one before. Nazwa indyjska: Ekadhikena Purvena

1. Podnoszenie do kwadratu liczb kończących się na 5.

Bierzemy cyfrę dziesiątek, mnożymy ją przez liczbę o jeden od niej większą. Do otrzymanej liczby dopisujemy 25.

15^2 = 1*2 (2 o jeden większa od 1) | 5*5 = 2 | 25 = 225
35^2 = 3*4 (4 o jeden większa od 3)| 5*5 = 12 | 25 = 1225
75^2 = 7*8 (8 o jeden większa od 7)| 5*5 = 56 | 25 = 5625
125^2 = 12*13 (13 o jeden większa od 12) | 25 = 156 | 25 = 15625

2. Mnożenie liczb dwucyfrowych typu xy i xz (gdzie y+z=10)

Bierzemy cyfrę dziesiątek, mnożymy ją przez liczbę o jeden od niej większą. Do otrzymanej liczby dopisujemy iloczyn cyfr dziesiątek.
29*21 = 2*3 (3 o jeden większa od 2) | 09 (9*1) = 609
32*38 = 3*4 (4 o jeden większa od 3) | 16 (2*8) = 1216
74*76 = 7*8 (8 o jeden większa od 7) | 24 (4*6) = 5624

3. Rozwinięcia dziesiętne liczb typu 1/19, 15/29, 45/69

1/19

Zaczynamy od licznika, którym jest 1. Dzielimy go przez 2 (2 o jeden większe od 1- ale tej, która stoi przed dziewiątką w mianowniku)

1/2 = 0 r 1
(1)0/2 = 5
5/2 = 2 r 1
12/2 = 6
6/2 = 3
3/2 = 1 r 1
11/2 = 5 r 1
15/2 = 7 r 1
17/2 = 8 r 1
18/2 = 9

Dzielenie wykonujemy aż do uzyskanie pożądanej dokładności. W tym wypadku 1/19 = 0,0526315789

1/29

Ponownie zaczynamy od licznika, którym jest 1. Dzielimy ją przez 3 (o jeden większe od 2, która stoi przed 9 w mianowniku).

1/3 = 0 r 1
10/3 = 3 r 1
13/3 = 4 r 1
14/3 = 4 r 2
24/3 = 8
8/3 = 2 r 2
22/3 = 7 r 1
17/3 = 5 r 2

Dzielenie wykonujemy aż do uzyskania żądanej dokładności. W tym wypadku 1/29 = 0,03448275.

45/69

Zaczynamy od 45, która znajduje się w liczniku. Dzielimy ją przez 7 (o jeden większe od 6, która stoi przez 9 w mianowniku)

45/7 = 6 r 3
36/7 = 5 r 1
15/7 = 2 r 1
12/7 = 1 r 5
51/7 =7 r 2
27/7 = 3 r 6

Dzielimy aż do momentu uzyskania pożądanej dokładności. W tym przykładzie 45/69 = 0,652173.

II Wszystkie od 9, ostatnia od 10

Nazwa angielska: All from 9 and the last from 10. Nazwa indyjska: Nikhilam Navatashcaramam Dashatah.

1. Odejmowanie liczb od wielokrotności 10.

10000-4979

10-9 = 1 (odejmujemy od 10, bo 9 jest cyfrą jedności)
9-7 = 2
9-9 = 0
9-4 = 5

Wynik odczytujemy od dołu: 5021

2. Podnoszenie liczb do potęgi.

Do liczby dodajemy cyfrę jej jedności. Wynik mnożymy przez cyfrę dziesiątek (w przypadku liczby trzycyfrowej- liczbę złożoną z cyfry setek i dziesiątek) pomnożoną przez dziesięć. Do wyniku dodajemy cyfrę jedności podniesioną do kwadratu.

36^2 = (36+6)*30+6^2 = 42*30+36 = 1260+36 = 1296

69^2 = (69+9)*60+9^2 = 78*60+81 = 4680+81 = 4761

124

124^2 = (124+4)*120+4^2 = 128*120+16 = 15360+16 = 15376

III Pionowo i na krzyż

Nazwa angielska: Vertically and crosswise. Nazwa indyjska: Urdhva-tiryagbhyam

1. Mnożenie liczb do 100

80*91

100-80=20
100-91=9
20*9=(1)80 (zostaje 80, 1 idzie na dół)

80-9=71+1 (ta z góry) = 72
Wynik: 7280

56*88

100-56=44
100-88=12
44*12=(5)28
56-12=44+5 (ta z góry) = 49
Wynik: 4928

2. Mnożenie liczb trzycyfrowych, których cyfry setek są takie same.

Dodajemy do siebie pierwszą liczbę oraz liczbę złożoną z cyfr dziesiątek i jedności drugiej liczby. Wynik mnożymy przez cyfrę setek. Do wyniku dopisujemy iloczyn liczb stworzonych z cyfr dziesiątek i jedności obu liczb (jeśli otrzymany wynik jest większy niż dwucyfrowy, nadmiarową liczbę dodajemy do wyniku z pierwszej części)
101×123 = (101+23) | 1*23 = 124 | 23 = 12423
159*178 = (159+78) | 59*78 = 237+46 | (46)02 = 283 | 02 =28302
234*248 = (234+48)*2 | 34*48 = 564+16 | (16)32 = 580 | 32 = 58032
367*315 = (367+15)*3 | 67*15 = 1146+10 | (10)05 = 1156 | 05 = 115605

3. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.

W liczniku zapisujemy sumę iloczynów wyrazów skrajnych. W mianowniku- iloczyn obu mianowników.

2/3+1/6 = 2*6+3*1/3*6 = 15/18
4/5+6/7 = 4*7+5*6/5*7 = 58/35

IV Przenieś i zastosuj

Nazwa angielska: Transpose and apply. Nazwa indyjska: Paraavartya Yojayet

1. Rozkład wielomianów.

12x^2-8x-32
12x^2-8x-32/x-2 (sprawdzamy, czy 2 jest pierwiastkiem)
12*2 (ta z wyrażenia x-2) = 24
24+(-8) = 16
Ilorazem jest wyrażenie 12x+16.
16*2 (ta z wyrażenia x-2) = 32
32+(-32) = 0
Reszta wynosi 0.
Rozłożony wielomian wygląda następująco: (12x+16)(x-2)

x^3-3x^2+10x-7

x^3-3x^2+10x-7/x-5 (sprawdzamy, czy 5 jest pierwiastkiem)
1*5 = 5
5+(-3)=2
2*5 = 10
10+10 = 20
Ilorazem jest wyrażenie x^2+2x+20.
20*5 = 100
100+(-7) = 93
Reszta wynosi 93.
Rozłożony wielomian wygląda następująco: (x^2+2x+20)(x-5)+93

V Jeśli samuccaya jest ta sama, to jest zerem

Nazwa angielska: If the Samuccaya is the same it is zero. Nazwa indyjska: Shunyam Saamyasamuccaye.

1. Obliczanie wyrażeń zawierających x, zapisanych w postaci ułamka.

Samuccaya to odpowiednio:

suma liczników i suma mianowników w obu wyrażeniach
różnica między licznikiem i mianownikiem w obu wyrażeniach
suma liczników i mianowników w obu wyrażeniach

(2x+9)/(2x+7) = (2x+7)(2x+9)

liczników (4x+16) równa się sumie mianowników (4x+16). Różnica iloczynów elementów skrajnych daje 0 (2x*2x-2x*2x). Samuccaya równa się zero, więc 4x+16=0. Otrzymujemy x=-4.

(3x+4)/(6x+7) = (x+1)(2x+3)

Suma mianowników (8x+10) jest wielokrotnością sumy liczników (4x+5). Różnica iloczynów elementów skrajnych daje 0 (3x*2x-6x*x). 4x+5=0. Otrzymujemy x=-5/4.

(3x+4)/(6x+7) = (5x+6)/(2x+3)

Suma liczników (8x+10) równa jest sumie mianowników (8x+10), ale wymnożenie elementów skrajnych nie daje 0 (3x*2x = 6x-5x). W takim wypadku są dwa rozwiązania: jedno standardowe (8x+10 = 0, x =-10/8), a drugie powstałe w wyniku przyrównania licznika do mianownika jednego z ułamków (np. 3x+4 = 6x+7, x = -1). W tym wypadku x=-10/8 lub x = -1.

VI Gdy jedno jest stosunkiem, inne jest zerem

Nazwa angielska: If one is in ratio the other is zero. Nazwa indyjska: (Anurupye) Shunyamanyat.

1. Obliczanie wyrażeń typu
ax+by = c
dx+ey = f
gdzie b/e = c/f lub a/d = c/f.

6x+7y = 8
19x+14y = 16
7/14 to to samo co 8/16. Skoro tak, to x = 0, a y (po podstawieniu) = 8/7

6x+7y = 8
12x+19y = 16
6/12 to to samo co 8/16. Skoro tak, to y = 0, a x (po podstawieniu) = 8/6

Uwaga: metoda nie znajduje zastosowania w przypadkach, gdy zarówno stosunek współczynników x, jak i y, równy jest stosunkowi współczynników za znakiem równości.

VII Przez dodawanie i odejmowanie

Nazwa angielska: By addition and by subtraction. Nazwa indyjska: Sankalana-vyavakalanabhyam

1. Obliczanie wyrażeń typu
ax-by = c
bx-ay = d.

45x-23y = 113
23x-45y = 91
Przez dodawanie: sumujemy x, y i liczby za znakiem równości. Otrzymujemy wyrażenie 68x-68y = 204, po skróceniu x-y = 3.
Przez odejmowanie: odejmujemy od siebie x, y i liczby za znakiem równości. Otrzymujemy wyrażenie 22x+22y = 22, po skróceniu x+y = 1.
Tworzymy układ równań
x-y = 3
x+y = 1
Podstawiamy x za y (lub odwrotnie). Otrzymujemy x = 2 oraz y = -1.

VIII Przez dopełnienie lub jego brak

Nazwa angielska: By the completion or non-completion. Nazwa indyjska: Puranapuranabhyam.

Nie udało mi się dotrzeć do przykładów ilustrujących sutrę.

IX Rachunek różniczkowy

Nazwa angielska: Differential calculus. Nazwa indyjska: Chalana-Kalanabhyam.

Nie znam się na różniczkach na tyle, by móc Wam to przystępnie wytłumaczyć. Osoby zainteresowane i znające się na różniczkach mogą odwiedzić stronę i przeanalizować ten przykład.

X Przez niedostatek

Nazwa angielska: By the deficiency. Nazwa indyjska: Yaavadunam.

1. Podnoszenie do kwadratu liczb bliskich wielokrotnościom dziesiątki.

Ustalamy różnicę między najbliższą wielokrotnością dziesiątki a szukaną liczbą (nadmiar lub niedobór). Nadmiar dodajemy, niedobór odejmujemy od szukanej liczby. Do wyniku dopisujemy nadmiar lub niedobór podniesiony do potęgi drugiej.

98^2

100-98 = 2
98-2 | 2^2
96 | 04 (04, ponieważ bazą jest 100, które ma 2 zera)
9604

966^2

1000-966 = 34
966-34 | 34^2
932+1 | (1)156 (bazą jest 1000, czyli 3 zera; nadmiarową jedynkę dodajemy do pierwszej części wyniku)
933 | 156
933156

1005^2

1005+5 | 5^2
1010 | 025 (bazą jest 1000, czyli 3 zera)
1010025

XI Specyficzny i ogólny

Nazwa angielska: Specific and general. Nazwa indyjska: Vyashtisamanshtih.

Nie udało mi się dotrzeć do przykładów ilustrujących sutrę.

XII Reszta z ostatniej cyfry

Nazwa angielska: The remainders by the last digits. Nazwa indyjska: Shesanyankena Charamena.

Przybliżenia dziesiętne ułamków- sprawdziłem tylko 1/7, sprawdzam inne ułamki tego typu.

1/7

1(0)/7 = 1 r 3
3/7 = 0 r 3. 3*3-7 = 2 (gdzie się da, odejmujemy wielokrotności 7)
2/7 = 0 r 2. 2*3 = 6
6/7 = 0 r 6. 6*3-7-7 = 4
4/7 = 0 r 4. 4*3-7 = 5
5/7 = 0 r 5. 5*3-7-7 = 1
1/7 = 0 r 1. 1*3 = 3
3/7 = 0 r 3. 3*3-7 = 2
Wyniki zaczynają się powtarzać.
3*7 = (2)1
2*7 = (1)4
6*7 = (4)2
4*7 = (2)8
5*7 = (3)5
1*7 = 7
Wynik: 1/7 = 0,(142857)

XIII Ostatni i podwójny przedostatni

Nazwa angielska: The ultimate and twice the penultimate. Nazwa indyjska: Sopaantyadvayamantyam.

Nie udało mi się dotrzeć do przykładów ilustrujących sutrę.

XIV Przez jeden mniej niż przez poprzedni

Nazwa angielska: By one less than the one before. Nazwa indyjska: Ekanynena Purvena.

1. Mnożenie przez 9, 99, 999, 9999 itp.

W przypadku, gdy mnożna ma mniej cyfr niż mnożnik zawierający dziewiątki, najpierw od mnożnej odejmujemy 1. Do wyniku dopisujemy różnicę mnożnej i pierwszego wyniku. W sytuacji, gdy mnożna ma więcej cyfr niż mnożnik zawierający dziewiątki, najpierw od mnożnej odejmujemy sumę liczby złożonej z cyfr nie stojących na pozycji jedności- i jedynki. Do wyniku dopisujemy różnicę dziesiątki i cyfry jedności.

8*9

8-1=7 | 9-7=2
Wynik: 72

15*99

15-1=14 | 99-14 = 85
Wynik: 1485

24*999

24-1 = 23 | 999-23 = 976
Wynik: 23976

42*9

42-(4+1) | 10-2 = 42-5 | 8 = 37 | 8 = 378
Wynik: 378

124*9

124-(12+1) | 10 – 4 = 124-13 | 6 = 111 | 6 = 1116
Wynik: 1116

XV Produkt sumy

Nazwa angielska: The product of the sum. Nazwa indyjska: Gunitasamuchyah.